Utilitatea - Utilitatea ordinala, Utilitatea cardinala

Utilitatea

In literatura de specialitate notiunea de utilitate a fost introdusa in ideea precizarii clare a proprietatilor pe care trebuie sa le indeplineasca o functie de eficienta.

Se cunosc doua posibilitati de introducere a conceptului de utilitate: utilitate ordinala (introdusa in baza unui sistem axiomatic) si utilitatea cardinala (introdusa in baza unor conditii impuse de practica unor reguli de piata).

1.1.1.   Utilitatea ordinala

Se porneste de la o multime de entitati E numita multimea rezultatelor, pe care se introduce o relatie binara numita relatie de preferinta; daca atunci rezultatul x este preferatul lui y.

Se introduce, de asemenea notiunea de experiment prin notatia , unde: p reprezinta ponderea rezultatului x; 1−p reprezinta ponderea rezultatului y.

Este evident ca daca ne raportam la rezultatele x₁,x₂, ., x_n IE, experimentul asociat se noteaza , unde p₁, p₂, ., p_n reprezinta ponderile acestor rezultate.

Utilitatea se introduce sub forma unei functii care indeplineste conditiile urmatoare (ne vom raporta doar la doua rezultate oarecare x, y, precum si la experimentul generat de acestea):

1.      daca ;

2.     

Altfel spus utilitatea este o functie monoton crescatoare in raport cu preferinta, iar utilitatea unui experiment este egala cu valoarea medie a utilitatilor rezultatelor care compun experimentul.

Observatia 1.1. Daca ne situam in cazul experimental atunci utilitatea lui este data de egalitatea urmatoare:

Axiome de comportament rational

Este o problema importanta in practica financiara a carei rezultate are la baza notiunea de utilitate ordinala. Primul sistem de axiome din punct de vedere comportamental a fost introdus de Neumann in 1935 si imbunatatit ulterior de Savage, Luce si Raiffa.

Considerand experimentul axiomele de rationalitate ale lui Luce-Raiffa sunt urmatoarele:

1.      tabilirea ordinii rezultatelor posibile

pentru orice x_i si x_j avem sau (orice rezultate sunt compatibile);

are proprietatea de tranzitivitate, adica: .

In baza acestor ipoteze se introduce notiunea de experiment compus.

Vom presupune in continuare ca si vom nota prin A experimentul , iar prin A₁, A₂, ., A_n experimente ce au ca rezultate x₁, x₂, ., x_n. Atunci experimentul se numeste experiment compus.

2.      Reducerea experimentelor compuse (la experimente simple)

Un experiment compus este echivalent cu un singur experiment simplu

unde: , fiind probabilitatea entitatii x_j in experimentul simplu E_i, ; .

3.      Continuitatea

Pentru fiecare rezultat x_i exista un numar real astfel incat ceea ce se mai poate scrie . Deci orice rezultat este echivalent cu un experiment determinat de primul si ultimul rezultat.

4.      Echivalenta

5.           Tranzitivitatea

Preferinta si echivalenta sunt tranzitive. Prin urmare avem urmatoarele relatii:

6.      Monotonia

In baza acestor axiome notiunea de functie de utilitate introdusa anterior poate fi nuantata prin precizarea proprietatii de liniaritate.

Definitia 1.1. Functia de utilitate

este liniara daca oricare ar fi experimentele simple A₁ si A₂ si .

Pornind de la aceasta definitie se poate arata ca o proprietate importanta a functiei de utilitate este aceea ca este unica pana la o transformare liniara pozitiva. Altfel spus, daca u₁ si u₂ sunt functii de utilitate, vor exista constantele reale si pozitive a, b astfel incat

1.1.2.   Utilitatea cardinala

Este un concept important utilizat in teoria deciziilor si mai apropiat de rezolvarea unor probleme de factura economica. Fundamentele teoriei cardinale ale utilitatii au fost formulate de L. Warles (unul din creatorii scolii matematicii in economie).

Functia de utilitate se noteaza cu u, , cu precizarea ca reprezinta cuantificarea gradului de satisfacere a consumului bunului .

Prin notatia se intelege gradul de satisfacere realizat de componenta x₁ a bunului x (ale carui componente sunt bunurile partiale x₁, x₂, ., x_n).

La baza introducerii conceptului de utilitate cardinala sta un sistem de ipoteze, cele mai importante fiind urmatoarele: raportarea constienta intre un bun si o nevoie a lui, inexistenta bunului in proprietatea consumatorului, accesul la bun se face prin piata.

Presupunem ca functia de utilitate u este derivabila partial in raport cu fiecare componenta.

In acest caz vectorul este gradientul functiei de utilitate si semnifica din punct de vedere economic un vector ale carui componente sunt utilitatile marginale in raport cu bunurile consumate.

Proprietatile care trebuie indeplinite de catre functia de utilitate u sunt urmatoarele:

1)     (daca nu se realizeaza un consum utilitatea este nula);

2)     (utilitatea creste o data cu cantitatea de bunuri consumata);

3)     (daca consumul este foarte mic, deci nevoia este practic neacoperita, atunci gradul de satisfactie este foarte mare in cazul consumului unui bun greu de procurat. Altfel spus, utilitatea marginala in raport cu un bun oarecare este foarte mare atunci cand nevoia de bunuri este neacoperita);

4)     (gradul de satisfactie nu mai creste atunci cand consumul este foarte mare);

5)     , adica (aceasta inseamna ca utilitatea marginala este descrecatoare).

Daca se noteaza cu u_m utilitatea marginala, atunci in cazul in care bunul are o singura componenta notata uzual Q reprezentarile grafice ale utilitatilor cardinale si utilitatii marginale sunt date in figura 2.1.

Figura 2.1.

Exemplu Sa se verifice daca , indeplineste cerintele pentru a fi functie de utilitate.

Rezolvare:   Pentru ca sa fie functie utilitate trebuie sa satisfaca urmatoarele conditii:

1.      ;

2.           ;

3.       ;

4.       ;

5.      

In concluzie este functie utilitate.