Metode numerice de calcul

Metode numerice de calcul 

Metode domeniu-timp

Aceste metode sunt utilizate intensiv in calculul computerizat pentru a analiza interactiile dintre unde electromagnetice si structuri dielectrice sau metalice complexe. Ecuatiile lui Maxwell sunt rezolvate in spatiu real, dar exista o dependenta de timp a acestor ecuatii bine stabilita. Ecuatiile sunt discretizate intr - o retea cubica simpla, unde punctele din spatiu si timp sunt separate de intervale fixe de timp si distanta.aproximam derivatele in fiecare punct al retelei printr - o difernta centrata, ceea ce a dus la aparitia ecuatiilor diferente finite. Aceste metode presupun aproximarea ecuatiilor lui Maxwell folosind diferente finite, impunand anumite conditii de suprafata si obtinand campurile in timp pentru a avea un raspuns in domeniu timp.

Aceste simulari in timp sunt folosite pentru a obtine structura de benzi a materialului fotonic. Domeniul de calcul se alege a fi celula unitate a unui cristal infinit. Campurile la nodurile din afara domeniului de calcul sunt legate de campurile din interior prin conditia lui Bloch. Dupa o excitare initiala, campurile oscileaza intr - o stare de asteptare care este o combinatie liniara a mai multor stari proprii cu un acelasi vector de unda. Frecventele acestor stari proprii pot fi obtinute printr - o transformare Fourier a amplitudinii in domeniul timp intr - un anumit punct. Spectrul rezultat este alcatuit dintr - un set discret de varfuri, unde fiecare varf ii corespunde unei frecvente proprii.

Modurile sunt excitate folosind una sau mai multe surse punctiforme, cu un profil frecventa amplitudine gaussian. Perioada de oscilatie si latimea profilului sunt determinate de intervalul de frecvente care ne interesaza. Pentru a determina structura de benzi se poate folosi un impuls cu o perioada de repetitie mica care sa cuprinda o gama larga de frecvente.

Metodele domeniu-timp au un avantaj fata de metodele domeniu-frecventa: pot fi folosite pentru calculul coeficientilor de reflexie a obiectelor, permitand radiatiei incidente sa interactioneze cu materialul, iar apoi transformata Fourier ne da raspunsul pentru fiecare frecventa. Un alt avantaj ar fi ca obtinem toate frecventele pentru propagarea unui singur camp.

Exista si cateva dezavantaje ale metodelor domeniu-timp. Nu poti fii sigur ca ai descoperit toate starile:doua stari pot fi apropiate ca frecventa si apar ca un singur varf. Pentru transformata Fourier rezolutia frecventei este invers proportionala cu durata simularii, astfel pentru a avea o rezolutie de 10 ori trebuie ca simularea sa dureze de 10 ori mai mult. Pasii in timp, intervalele T pentru metoda "ordin N", sunt proportionale cu rezolutia in spatiu, daca vrem sa dublam rezolutia in spatiu, atunci trebuie sa dublam si numarul de intervale de timp. Pentru a obtine starile proprii este necesar ca simularea sa fie facuta din nou pentru fiecare stare in parte, invers proportional ca interval de timp cu spatierea in termeni de frecventa intre doua stari adiacente.

Metodele domeniu-timp se preteaza pentru calcule care vizeaza evolutia in timp a cimpurilor, structuri de benzi, gasirea modurilor rezonante, calcule legate de evaluarea coeficientilor de transmisie in timp.

Metode domeniu-frecventa

Spre deosebire de metodele domeniu-timp, cele din domeniu-frecventa sunt mai des folosite pentru calculul benzilor si a starilor proprii si prezinta cateva avantaje notabile. In primul rand stari apropiate ca frecventa, vor aparea ca doua valori proprii separate dupa simulare. Eroarea de frecventa in raport cu valorile proprii decade exponential cu numarul de iteratii care ramane aproape constant chiar daca cresti rezolutia. Un alt avantaj ar fi acela ca obtinem atat frecventele cat si valorile proprii in acelasi timp.

Unul din dezavantajele traditionale pentru metodele domeniu-frecventa este ca trebuie calculate toate starile proprii de la cele mai joase pana la cele care ne interesaza, chiar daca nu avem nevoie de starile de la inceput, iar de aceea trebuie calculat un numar mare de benzi implicand o durata de calcul mai mare. Erorile principale se produc atunci cand se calculeaza transformata Fourier rapida pentru puncte de - a lungul granitei dintre doua substante dielectrice, fiind necesara introducerea unui algoritm care sa indice o valoare corespunzatoare permeabilitatii electrice pentru aceste puncte.

Pentru studierea structurii de benzi pentru un sistem periodic, calculele se fac pentru o celula unitate a substantei care determina periodicitatea. Pentru studierea starilor proprii care sunt intrinsec neperiodice cum ar fi defecte, suprafete, ghiduri de unda se poate introduce aproximarea supercelulei, prin care un sistem neperiodic este periodic repetat in spatiu.

In concluzie in acest capitol am prezentat ecuatiile lui Maxwell, pe baza carora s - au descoperit cristalele cu banda interzisa si cateva din modalitatile de calcul pentru determinarea benzilor materialele fotonice cum ar fi: metoda matricei de transfer folosita pentru rezolvarea setului de ecuatii diferente finite (2.22), metoda domeniu-timp ordin N unde campurile de unda sunt dezvoltate pornind de la conditia lui Bloch si determinarea unui set de ecuatii finite in timp (2.39) si metoda-domeniu frecventa a gradientului conjugat care se bazeaza pe trecerea din spatiul reciproc in spatiul real cu ajutorul transformatei Fourier rapide.