Produse subdirecte. Algebre subdirect-ireductibile. Algebre simple.

Produse subdirecte. Algebre subdirect-ireductibile. Algebre simple.

Definitia 1. Fie (A_i)_iII o familie (nevida) de algebre de tip t

Vom spune ca o algebra A de acelasi tip t este produsul subdirect al familiei (A_i)_iII daca:

i) A A_i

ii) p_i (A) = A_i pentru orice i I I ((p_i)_iII fiind proiectiile produsului direct PA_i).

O scufundare u : A A_i se zice subdirecta daca u(A) este produsul subdirect al familiei (A_i)_iII

Lema 2. Fie (q_i)_iII o familie de elemente ale lui Con(A) astfel incat  q_i D_A

Atunci morfismul natural u : A A_i / q_i este o scufundare subdirecta.

Demonstratie: u este o scufundare (adica este injectie) deoarece daca consideram p_q: A A q_t morfismul surjectiv canonic, atunci Ker (p_q q_i pentru orice i I I.

Cum fiecare p_qeste morfism surjectiv, deducem ca u este scufundare subdirecta.g

Definitia 3. O algebra A de tip t se zice subdirect-ireductibila daca pentru orice familie (A_i)_iII de algebre de tip t si scufundare subdirecta u : A AA_i exista i I I astfel incat p_iu : A A_i este izomorfism.

Teorema O algebra A este subdirect-ireductibila daca si numai daca A este triviala sau in Con (A) exista un element minimal (in acest ultim caz elementul minimal (Con (A) ) este o congruenta principala).

Demonstratie: ' T '. Sa presupun prin absurd ca A nu este triviala iar Con (A) nu are elemente minimale. Atunci (Con) (A) si daca I=Con(A) , morfismului natural u : A (A q este o scufundare subdirecta iar cum morfismul natural p_q : A A q nu este injectiv pentru orice q I I, rezulta ca A nu este subdirect -ireductibila - absurd!

' . Daca A este triviala si u : A A_i q este o scufundare subdirecta, atunci fiecare A_i este triviala, deci fiecare, p_iu este izomorfism .

Sa presupunem acum ca A nu este triviala si fie q (Con (A) Alegem (a, b) I q cu a b. Daca u : A A_i este o scufundare subdirecta, atunci pentru un anumit iII (u(a))(i) (u(b))(i), deci (p_iu)(a) (p_iu)(b). Rezulta ca (a, b) Ker (p_i u), deci q Ker (p_iu) = D_A, ceea ce implica Ker (p_iu)=D_A, adica p_iu : A A_i este izoform, deci A este subdirect-ireductebila si in acest caz. Daca Con (A) are un element minimal q, atunci exista a, b I A, a b cu (a, b) I q, de unde Q (a, b) q, deci q Q(a, b). g

Observatie: Utilizand acest ultim rezultat putem pune in evidenta anumite clase de algebre subdirect-ireductibile si anume:

. Un grup abelian finit G este subdirect ireductibil daca si numai daca este  ciclic iar G pⁿ pentru un numar prim p (daca G este p - grup ciclic).

. Grupul G_p¥ este subdirect-ireductibil.

. Orice grup simplu este subdirect-ireductibil.

Un spatiu vectorial peste un corp K este subdirect-ireductibil daca si numai daca este trivial (spatiu vectorial nul), sau este de dimensiune 1.

. Orice algebra cu 2 elemente este subdirect-ireductibila.

O algebra indecompozabila (direct) poate sa nu fie subdirect-ireductibila (de exemplu, daca consideram un lant cu 3 elemente ca latice) .

Invers este insa adevarat. Deoarece orice congruenta factor pe o algebra subdirect-ireductibila este (D ), deducem ca orice algebra subdirect-ireductibila este direct indecompozabila.

Teorema 5. (Birkhoff). Orice algebra A este izomorfa cu un produs subdirect de algebre subdirect-ireductibile.

Demonstratie: Este suficient sa consideram doar cazul cand A este netriviala. Pentru a, b I A , a b, conform Lemei lui Zorn exista o congruenta q_a,b a lui A ce este maximala cu proprietatea ca (a, b) q_a,b. Atunci Q (a, b) q_a,b este cea mai mica congruenta din [q_{a,b A} si A q_a,b este subdirect-ireductibila.

Cum , deducem ca A este scufundabila sudirect in ) format din algebre subdirect-ireductibile .g

Corolar 6. Orice algrbra finita este izomorfa cu un produs subdirect al unui numar finit de algebre finite subdirect ireductibile .

Definitia 7. O algebra A se zice simpla daca Con (A) = O congruenta q I Con (A) se zice maximala pe A daca [q _A] are exact doua elemente.

Teorema 8. Daca q I Con(A), atunci A q este simpla daca si numai daca q este o congruenta maximala pe A sau q D_A

Demonstratie: Conform teoremei de corespondenta, Con (A q q _A si totul rezulta acum tinand cont de definitia algebrei simple.g